Şaftların burulma hesabı

Bir şaft tork veya burulma ya maruz kaldığında şaftta bir kesme gerilimi oluşur. Kesme gerilimi eksende sıfırdan şaftın dış yüzeyinde maksimuma kadar değişir.

Belirli bir pozisyondaki dolu dairesel şafttaki kesme gerilimi şu şekilde ifade edilebilir:

τ = T r / J                              (1)

τ = kesme gerilimi (Pa, psi)

T = büküm momenti (Nm, in lb)

r = verilen konumda merkezden gerilmiş yüzeye olan mesafe (m, in)

J = polar alan atalet momenti (m4, in4)

Not: “Bir Alanın polar atalet momenti”, bir şaftın burulmaya dayanma kabiliyetinin bir ölçüsüdür. “Polar Atalet Momenti”, dikkate alınan alana dik bir eksene göre tanımlanır. Bir kirişin sapma ve stresini tahmin etmek için gerekli olan bir kirişin eğilmeye karşı direnç yeteneğini karakterize eden “Alan Atalet Momenti” ile benzerdir.

“Bir Alanın Polar Atalet Momenti”, “Polar Atalet Momenti”, “Alanın İkinci Momenti”, “Alan Atalet Momenti”, “Alanın Polar Momenti” veya “İkinci Alan Momenti” olarak da adlandırılır.

Polar Atalet Momenti – Alan Atalet Momenti

  • “Polar Atalet Momenti” – bir kirişin burulmaya dayanma kabiliyetinin bir ölçüsü – torka maruz kalan bir kirişin bükümünü hesaplamak için gereklidir
  • “Alan Atalet Momenti” – kirişlerde sapma, eğilme ve gerilmeyi tahmin etmek için kullanılan bir şekil özelliğidir

Dairesel şaftlarda maksimum moment veya tork

Dairesel bir şaftta maksimum moment şu şekilde ifade edilebilir:

Tmax = τmax J / R                               (2)

Tmax = maksimum büküm momenti (Nm, in lb)

τmax = maksimum kesme gerilimi (Pa, psi)

R = şaft yarıçapı (m, in)

Dolu şaft için (2) ve (3) kombinasyonu

Tmax = (π / 16) τmax D3                            (2b)

İçi boş mil için (2) ve (3b) kombinasyonu

Tmax = (π / 16) τmax (D4 – d4) / D                             (2c)

Dairesel şaft ve polar atalet momenti

Dairesel dolu şaftın polar atalet momenti şu şekilde ifade edilebilir:

J = π R4 / 2

   = π (D / 2)4 / 2

   = π D4 / 32                          (3)

D = şaft dış çapı (m, in)

Dairesel içi boş bir milin Polar Atalet Momenti şu şekilde ifade edilebilir:

J = π (D4 – d4) / 32                          (3b)

d = şaft iç çapı (m, in)

Dolu mil çapı

Dolu şaftın çapı formülle hesaplanabilir

D = 1.72 (Tmax / τmax)1/3                            (4)

Milin burulma sapması

Bir burulma şaftının açısal sapması şu şekilde ifade edilebilir:

α = L T / (JG)                                  (5)

α = açısal şaft sapması (radians)

L = şaft uzunluğu (m, in)

G = kayma sertlik modülü – sertlik modülü (Pa, psi)

Bir burulma dolu şaftının açısal sapması şu şekilde ifade edilebilir:

α = 32 L T / (G π D4)                             (5a) 

Bir burulma içi boş milin açısal sapması şu şekilde ifade edilebilir:

α = 32 L T / (G π (D4– d4))                              (5b)

Derece cinsinden açı, radyan cinsinden θ açısının 180 / π ile çarpılmasıyla elde edilebilir.

Dolu mil (π değiştirildi)

αdegrees ≈ 584 L T / (G D4)                              (6a)

İçi boş mil (π değiştirildi)

αdegrees ≈ 584 L T / (G (D4– d4)                            (6b)

Çeşitli enine kesitleri verilen şaftların burulma momentleri

Örnek – Dolu silindirde kesme gerilmesi ve açısal sapma

1000 Nm’lik bir moment, 50 mm (0.05 m) çapında ve 1 m uzunluğunda bir katı silindir şaftına etki eder. Mil, 79 GPa (79 109 Pa) rijitlik modülü ile çelikten yapılmıştır.

Maksimum kesme gerilimi şu şekilde hesaplanabilir:

τmax = T r / J

  = T (D / 2) / (π D4 / 32)

  = (1000 Nm) ((0.05 m) / 2) / (π (0.05 m)4 / 32)

  = 40764331 Pa

  = 40.8 MPa

Milin açısal sapması şu şekilde hesaplanabilir:

θ = L T / (J G) 

  = L T / ((π D4 / 32) G)

  = (1 m) (1000 Nm) / ((π (0.05 m)4 / 32) (79 109 Pa))

  = 0.021 (radians)

  = 1.2 o

Örnek – İçi boş silindirde kesme gerilmesi ve açısal sapma (burulma)

1000 Nm’lik bir moment, dış çapı 50 mm (0.05 m), iç çapı 30 mm (0.03 m) ve uzunluğu 1 m olan içi boş bir silindir miline etki eder. Mil, 79 GPa (79 109 Pa) rijitlik modülü ile çelikten yapılmıştır.

Maksimum kesme gerilimi şu şekilde hesaplanabilir:

τmax = T r / J

  = T (D / 2) / (π (D4 – d4) / 32)

  = (1000 Nm) ((0.05 m) / 2) / (π ((0.05 m)4 – (0.03 m)4) / 32)

  = 46.8 MPa

Milin açısal sapması şu şekilde hesaplanabilir:

θ = L T / (J G) 

  = L T / ((π D4 / 32) G)

  = (1 m) (1000 Nm) / ((π ((0.05 m)4 – (0.03 m)4) / 32) (79 109 Pa))

  = 0.023 radian)

  = 1.4 o

Örnek – Gücü iletmek için gerekli mil çapı

Bağlı bir milden güç iletmek için 15 kW elektrik motoru kullanılmalıdır. Motor ve şaft 2000 rpm ile döner. Şaftta izin verilen maksimum kesme gerilimi – τmax – 100 MPa’dır.

Güç ve tork arasındaki bağlantı ifade edilebilir

P = 0.105 nrpm T                    (7)

where 

P = güç (W)

nrpm = şaft hızı (rpm)

Yeniden düzenlenmiş ve değerlerle – tork hesaplanabilir

T = (15 103 W) / (0.105 (2000 rpm))

   = 71 Nm

Milin minimum çapı denklem (4)

D = 1.72 ((71 Nm) / (100 106 Pa))1/3   

   = 0.0153 m

   = 15.3 mm

Hüseyin Sümer hakkında 102 makale
Chemical and Mechanical engineer. Entrepreneur. Passionate about, Technology and Research.

İlk yorum yapan olun